Phương trình Navier - Stokes là một phương trình tính liên tục đặc biệt. Một phương trình tính liên tục có thể được rút ra từ các nguyên tắc bảo tồn:

• Khối lượng
• Động lượng
• Năng lượng

Điều này được thực hiện thông qua định lý vận chuyển Reynolds, một quan hệ giải pháp tích phân nói rằng tổng của những thay đổi của một thuộc tính cụ thể nào đó (gọi nó là φ) của một khối thể tích kiểm tra Ω {\displaystyle \Omega } phải bằng với những gì đã giảm (hoặc tăng) thông qua các mặt biên của khối thể tích kiểm tra cộng với những gì được tạo ra hoặc mất đi do các nguồn phát (source) và giếng thu (sink) bên trong khối thể tích kiểm tra. Điều này được thể hiện bằng các phương trình tính liên tục ở dạng tích phân dưới đây:

d d t ∫ Ω ϕ   d V = − ∫ ∂ Ω ϕ u ⋅ n   d A − ∫ Ω s   d V {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\phi \ dV=-\int _{\partial \Omega }\phi \mathbf {u\cdot n} \ dA-\int _{\Omega }s\ dV}

trong đó u là vận tốc dòng chảy của chất lưu và s đại diện cho các nguồn phát và giếng thu trong dòng chảy, giếng thu sẽ mang dấu dương, còn nguồn phát mang dấu âm. Nhớ lại rằng Ω {\displaystyle \Omega } đại diện cho khối thể tích kiểm tra và ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } đại diện cho bề mặt bao quanh của nó.

Định lý phân kỳ có thể được áp dụng cho tích phân bề mặt, để thay đổi tích phân bề mặt thành tích phân thể tích:

d d t ∫ Ω ϕ   d V = − ∫ Ω ∇ ⋅ ( ϕ u )   d V − ∫ Ω s   d V . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\phi \ dV=-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\phi \mathbf {u} )\ dV-\int _{\Omega }s\ dV.}

Áp dụng quy tắc Leibniz vào tích phân bên trái và sau đó kết hợp tất cả các tích phân:

∫ Ω ∂ ϕ ∂ t   d V = − ∫ Ω ∇ ⋅ ( ϕ u )   d V − ∫ Ω s   d V ⇒ ∫ Ω ( ∂ ϕ ∂ t + ∇ ⋅ ( ϕ u ) + s   ) d V = 0. {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\ dV=-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\phi \mathbf {u} )\ dV-\int _{\Omega }s\ dV\qquad \Rightarrow \qquad \int _{\Omega }\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\phi \mathbf {u} )+s\ \right)dV=0.}

Tích phân này phải bằng không đối với bất kỳ khối thể tích kiểm tra bất kỳ; điều này chỉ có thể đúng nếu hàm bị tích bằng không, do đó:

∂ ϕ ∂ t + ∇ ⋅ ( ϕ u ) + s = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\phi \mathbf {u} )+s=0.}

Từ mối quan hệ quý giá này (một phương trình tính liên tục rất đặc trưng), ba khái niệm quan trọng có thể được viết một cách ngắn gọn: sự bảo toàn khối lượng, bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng. Tính đúng đắn (validity) vẫn được duy trì nếu φ là một vector, trong trường hợp đó phép nhân vector vector trong số hạng thứ hai sẽ là một phép nhân dyad.

Phương trình động lượng

Một phương trình động lượng nói chung sẽ được rút ra khi mối quan hệ bảo toàn được áp dụng cho động lượng. Nếu thuộc tính φ đang được xét đến là thông lượng khối lượng (hay còn gọi là mật độ động lượng), tức là sản phẩm của mật độ khối lượng và vận tốc dòng chảy ρ u {\displaystyle \rho \mathbf {u} } , bằng cách thay thế trong phương trình liên tục tổng quát:

∂ ∂ t ( ρ u ) + ∇ ⋅ ( ρ u u ) + s = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \mathbf {u} )+\mathbf {s} =0}

trong đó u u {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {u} } là một phép nhân dyad, một trường hợp đặc biệt của phép nhân tensor, nó cũng cho kết quả là một tensor bậc hai; toán tử (div) của một tensor bậc hai lại là một vector (tensor bậc một).[2]

u ∂ ρ ∂ t + ρ ∂ u ∂ t + u u ⋅ ∇ ρ + ρ u ⋅ ∇ u + ρ u ∇ ⋅ u = s {\displaystyle \mathbf {u} {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\rho \mathbf {u} \nabla \cdot \mathbf {u} =\mathbf {s} }

Lưu ý rằng gradient của một vector là một trường hợp đặc biệt của đạo hàm hiệp biến, và cho kết quả là các tensor bậc hai;[2] ngoại trừ trong hệ tọa độ Descartes, điều quan trọng là phải hiểu rằng đây không phải chỉ đơn giản là một yếu tố (trường vô hướng, vector, tensor) với nhân với gradient của một yếu tố khác. Sắp xếp lại và nhận ra rằng u ⋅ ∇ ρ + ρ ∇ ⋅ u = ∇ ⋅ ( ρ u ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )} :

u ( ∂ ρ ∂ t + u ⋅ ∇ ρ + ρ ∇ ⋅ u ) + ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = s {\displaystyle \mathbf {u} \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} } u ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) ) + ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = s {\displaystyle \mathbf {u} \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\right)+\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }

Biểu thức tận cùng bên trái trong dấu ngoặc đơn, theo tính liên tục khối lượng (tại một thời điểm), là bằng không. Cần lưu ý rằng phần còn lại ở phía bên trái của phương trình là đạo hàm đối lưu:

ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = s {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }

hay, với việc sử dụng toán tử đạo hàm hữu hình đã nói bên trên:

ρ D u D t = s {\displaystyle \qquad \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\mathbf {s} }

Đây dường như chỉ đơn giản là một biểu thức của định luật thứ hai của Newton (F = ma) cho lực khối thay vì các lực tập trung tại các điểm. Mỗi số hạng trong phương trình Navier - Stokes bất kỳ là một lực khối. Một cách ngắn hơn mặc dù kém chặt chẽ để đi đến kết quả này là áp dụng quy tắc chuỗi (chain rule) cho gia tốc:

ρ d d t ( u ( x , y , z , t ) ) = s ⇒ ρ ( ∂ u ∂ t + ∂ u ∂ x d x d t + ∂ u ∂ y d y d t + ∂ u ∂ z d z d t ) = s ⇒ ρ ( ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z ) = s ⇒ ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = s {\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} (x,y,z,t))=\mathbf {s} \qquad &\Rightarrow \qquad \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right)=\mathbf {s} \\\qquad &\Rightarrow \qquad \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+u{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}+v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}+w{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}\right)=\mathbf {s} \\\qquad &\Rightarrow \qquad \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} \end{aligned}}}

trong đó u = ( u , v , w ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)} . Lý do tại sao điều này là "kém chặt chẽ" là chúng ta đã không chứng minh rằng sự lựa chọn

u = ( d x d t , d y d t , d z d t ) {\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}

là chính xác; tuy nhiên nó vẫn có ý nghĩa bởi vì với sự chọn lựa đường đi của dòng chảy đạo hàm đang ‘đi theo’ một "phần tử" chất lưu, và để áp dụng định luật thứ hai của Newton, các lực tác dụng lên phần tử phải được tổng hợp lại. Vì lý do này, đạo hàm đối lưu còn được gọi là đạo hàm phần tử.

Sự bảo toàn khối lượng

Khối lượng cũng có thể được xem xét một cách tương tự. Lấy Q = 0 {\displaystyle Q=0} (không có nguồn phát hoặc giếng thu khối lượng) và thay mật độ vào:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}

trong đó ρ {\displaystyle \rho } là mật độ khối lượng (khối lượng trên mỗi đơn vị thể tích), và u {\displaystyle \mathbf {u} } là vận tốc dòng chảy. Phương trình này được gọi là phương trình tính liên tục khối lượng, hoặc đơn giản là ‘’phương trình tính liên tục’’. Phương trình này thường đi kèm với các phương trình Navier - Stokes.

Trong trường hợp của một chất lưu không nén được, d ρ d t = 0 {\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=0} (nghĩa là mật độ dọc đường đi của một phần tử chất lưu là hằng số) và phương trình được rút gọn: 

∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

Đây thực tế là một tuyên bố của việc bảo tồn thể tích.